Enunciado

A pilha do exercício 13 é substituída por um gerador produzindo voltagem de E t = 12   s e n ( 10 t ) . Determine a carga no instante t .

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão, vamos relembrar a solução da equação diferencial homogênea associada:

Q h t = e - 10 t c 1 cos ⁡ 20 t + c 2 s e n 20 t

Como a equação diferencial homogênea associada não foi modificada, então podemos supor a mesma solução.

Passo 2

O que mudou foi a parte particular. Bom, como a voltagem E ( t ) é do tipo seno, é razoável supor uma solução particular também periódica:

Q p t = A s e n 10 t + B c o s ( 10 t )

Tá, e agora, o que fazer? Jogar na equação diferencial! Sempre! Para determinar os coeficientes, devemos supor uma solução compatível, derivar uma (às vezes duas) e substituir tudo na equação diferencial!

A equação diferencial do exercício é:

d 2 Q d t 2 + 20 d Q d t + 500 Q = 12 s e n ( 10 t )

No próximo passo vamos calcular as derivadas e substituir na equação para determinar os coeficientes.

Passo 3

A função é:

Q p t = A c o s 10 t + B s e n ( 10 t )

A primeira derivada:

Q ' t = - 10 A s e n 10 t + 10 B c o s ( 10 t )

E a segunda:

Q ' ' t = - 100 A c o s 10 t - 100 B s e n ( 10 t )

E substituindo na equação:

- 100 A + 200 B + 500 A cos ⁡ 10 t + - 100 B - 200 A + 500 B s e n 10 t = 12 s e n ( 10 t )

Igualando os termos temos duas equações:

400 A + 200 B = 0 400 B - 200 A = 12

Da primeira equação temos:

B = - 2 A

E substituindo na equação de baixo:

400 B + 200 B 2 = 12

B = 12 500 = 3 125

E voltando na primeira equação para determinar o valor de A :

A = - 3 2.125 = - 3 250

Assim a solução particular é:

Q p t = - 3 250 c o s 10 t + 3 125 s e n ⁡ ( 10 t )

Passo 4

A solução geral é a combinação linear da solução homogênea com a particular. Então a solução vai ser:

Q t = e - 10 t c 1 cos ⁡ 20 t + c 2 s e n 20 t - 3 250 c o s 10 t + 3 125 s e n ⁡ ( 10 t )

Agora só falta determinar as constantes c 1 e c 2 . E elas nós determinamos através das condições iniciais.

No instante inicial a carga é zero, sendo assim Q 0 = 0 :

0 = 1 . c 1 . 1 + c 2 . 0 - 3 250 . 1 + 3 125 . 0

c 1 - 3 250 = 0 ∴ c 1 = 3 250

Sabemos também que a corrente no instante inicial é zero, então Q ' 0 = 0 , usando a regra do produto:

Q ' t = 3 25 s e n 10 t + 6 25 cos ⁡ 10 t + e - 10 t   ( - 10 c 1 + 20 c 2 cos ⁡ 20 t + - 10 c 2 - 20 c 1 s e n 20 t ]

E no instante inicial:

Q ' 0 = 6 25 - 10 c 1 + 20 c 2 = 0

c 2 = 1 2 c 1 - 6 500 = 1 2   . 3 250 - 6 500 = 3 500 - 6 500 = - 3 500

c 2 = - 3 500

Passo 5

Agora juntando as soluções com os coeficientes temos finalmente a solução geral:

Q t = e - 10 t 3 250 cos ⁡ 20 t - 3 500 s e n 20 t - 3 250 c o s 10 t + 3 125 s e n ⁡ ( 10 t )

Resposta

Q t = e - 10 t 3 250 cos ⁡ 20 t - 3 500 s e n 20 t - 3 250 c o s 10 t + 3 125 s e n ⁡ ( 10 t )

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