Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

y t = y c t + y p ( t )

y c ' ' - y c ' - 2 y c = 0

y c = e r t

y c ' = r e r t

y c ' ' = r ² e r t

r 2 - r - 2 = 0

r = - 1 , 2

y c t = C 1 e - t + C 2 e 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y p ' ' - y p ' - 2 y p = - 2 t + 4 t ²

- 2 A - B + 2 C = 0

- 2 B - 2 C = - 2

- 2 C = 4

A =   - 7 2

B = 3

C =   - 2

y p t =   - 7 2 + 3 t - 2 t ²

y t =   C 1 e - t + C 2 e 2 t   - 7 2 + 3 t - 2 t ²

Resposta

y t =   C 1 e - t + C 2 e 2 t   - 7 2 + 3 t - 2 t ²

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