Enunciado

Uma placa quadrada com a   p é s de lado está mergulhada em um líquido de peso específico ρ l b / p é s 3 . Encontre a força do fluido sobre a placa se um vértice estiver tocando a superfície e uma diagonal for perpendicular a esta.

Passo 1

Vamos compreender melhor a situação. O que ele quer dizer é que tem uma placa quadrada submersa na vertical, mas rotacionada. A gente pode encarar ela como um losango, que tem uma das diagonais paralelas à superfície.

Como temos uma região submersa na vertical, podemos usar essa relação:

F = ∫ a b ρ h x w ( x ) d x

Onde ρ é o peso específico do líquido.

Vamos começar!

Passo 2

Vamos achar w ( x ) (largura da placa) considerando que a origem do eixo x está na altura da superfície do líquido.

Vemos na figura a seguir, o nosso quadrado, de lado a e de diagonais a 2 .

Por ela, a gente vê que nossa largura vai ser uma função definida por partes. No intervalo 0 ≤ x ≤ a 2 2 , podemos usar a semelhança de triângulos:

w 1 x a 2 = b 1 a 2 2

Pela figura, vemos que b 1 = x , logo:

w 1 x = 2 x

No intervalo a 2 2 ≤ x ≤ a 2 , podemos usar a semelhança de triângulos:

w 2 x a 2 = b 2 a 2 2

Pela figura, vemos que b 1 = a 2 - x , logo:

w 2 x = 2 a 2 - x

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de x . Então, podemos escrever:

h x = x

E a placa começa em a = x = 0 e termina em b = x = a 2 .

Mas lembrando que nossa função largura é definida por partes, por isso vamos ter que calcular uma integral para cada intervalo dela e somar.

Com tudo isso, nossa força fica assim:

F = ∫ 0 a 2 2 ρ ⋅ x ⋅ 2 x d x + ∫ a 2 2 a 2 ρ ⋅ x ⋅ 2 a 2 - x d x

Passo 4

Agora é só calcular as integrais.

F = 2 ρ ∫ 0 a 2 2 x 2 d x + ∫ a 2 2 a 2 a 2 x - x 2 d x

F = 2 ρ x 3 3 ​ 0 a 2 2 + a 2 x 2 2 - x 3 3 ​ a 2 2 a 2

F = ρ a 3 2 l b

Resposta

F = ρ a 3 2 l b

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