Enunciado

A posição de um objeto com massa m no instante t é r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1 .

(a) Qual é a força que age sobre o objeto no instante t ?

(b) Qual é o trabalho realizado pela força durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 ?

Passo 1

Para o item a, devemos apenas lembrar qual é a segunda Lei de Newton, onde F → = m a → .

Já para o item b, Devemos lembrar a definição matemática para calcular o Trabalho.

W = ∫ a b F → γ → t ⋅ γ → ' t d t

Assim precisamos apenas saber parametrizar nossa curva e calcular a integral.

Passo 2

  1. Dado que o enunciado nos forneceu a posição da partícula em função do tempo, basta derivarmos duas vezes para obter a aceleração da mesma.
  2. r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^ →   v → t = 2 a t i ^ + 3 b t 2 j ^ →   a → t = 2 a i ^ + 6 b t j ^

    Assim temos que F → t = m a → t = 2 m a i ^ + 6 m b t j ^

    Passo 3

  3. Olhando agora para o trabalho, tomamos r → t = γ → ( t ) , assim temos que

W = ∫ 0 1 2 m a i ^ + 6 m b t j ^ ⋅ 2 a t i ^ + 3 b t 2 j ^   d t = ∫ 0 1 4 a 2 m t + 18 b 2 m t 3 d t  

W = 2 a 2 m t 2 + 18 4 b 2 m t 4 0 1 = 2 a 2 m + 9 2 b 2 m

Resposta

  1. F → t = m a → t = 2 m a i ^ + 6 m b t j ^
  2. 2 a 2 m + 9 2 b 2 m
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