Enunciado

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → x , y = x 2 i ^ + y e x j ^ em uma partícula que se move sobre a parábola x = y 2 + 1 de ( 1,0 ) a ( 2,1 ) .

Passo 1

Vamos lembrar a definição matemática para calcular o Trabalho.

W = ∫ a b F → γ → t ⋅ γ → ' t d t

Assim precisamos apenas saber parametrizar nossa curva e calcular a integral.

Passo 2

A curva dada é uma parábola x = y 2 + 1  

Fazendo y = t , temos que x = t 2 + 1 , assim temos γ → t = ( t 2 + 1 , t ) com 0 ≤ t ≤ 1 . Tomando a derivada de γ em relação a t , temos

γ → ' t = ( 2 t ,   1 )

Desta forma nossa integral se resume a

∫ 0 1 t 2 + 1 2 ,   t e t 2 + 1   ⋅ 2 t , 1 d t = ∫ 0 1 ( 2 t t 2 + 1 2 + t e t 2 + 1 ) d t

Passo 3

Vamos resolver por partes, pois assim será mais fácil.

A primeira integral temos um polinômio, o que não requer muito sofrimento para resolvermos

∫ 0 1 2 t t 4 + 2 t 2 + 1 d t = ∫ 0 1 2 t 5 + 4 t 3 + 2 t d t = 2 6 t 6 + t 4 + t 2 0 1 = 7 3

Já a segunda integral, devemos fazer uma substituição.

Vamos fazer

t 2 + 1 = u → t   d t = d u 2

O intervalo se transforma

t = 0 → u = 1

t = 1 → u = 2

∫ 0 1 t e t 2 + 1 d t = ∫ 1 2 e u 2 d u = e u 2 1 2 = e 2 2 - e 2

Assim temos que o resultado final será

7 3 + e 2 2 - e 2

Resposta

7 3 + e 2 2 - e 2

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