Enunciado

f ( x ) = 2 e x / ( 1 + x ² )   possui um valor mínimo absoluto? E um máximo absoluto? Em caso afirmativo, calcule-os; do contrário, explique por que eles não existem. Liste todos os pontos críticos de f .

Passo 1

A fim de descobrir se a função possui mínimos ou máximos absolutos, deve-se fazer a derivada da mesma e igualar este resultado a zero, ou seja, verificar se existe ponto crítico.

Caso haja pontos críticos, estes devem ser analisados dentro do domínio da função.

Passo 2

Logo, derivando a função:

f ' x = 2 e x 1 + x 2 - 2 e x x 1 + x 2 2 = 0 ∴ x = 1

Encontra-se um ponto crítico em x = 1 e a função deve ser analisada antes e depois dele.

Passo 3

Verificando o comportamento da função ao redor do ponto crítico temos que:

Para x < 1 , f ' ( x ) é positiva;

Para x > 1 , f ' ( x ) é positiva.

Então, o ponto x = 1 não é nem mínimo nem máximo local.

Passo 4

Também, para verificarmos se há mínimo ou máximo absolutos, pode-se aplicar os limites com x → ∞ e x → - ∞ .

Fazendo isso, nota-se que os resultados dos limites laterais diferem, ou seja, o limite não existe e não há mais extremos absolutos.

Resposta

Pontos críticos: x = 1 ;

Não há nenhum máximo absoluto;

Não há nenhum mínimo absoluto.

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