Enunciado

Na prática, a função aplicada g x é frequentemente descontínua. Resolva o problema de valor inicial:

y ' ' + 4 y = g x ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2

Em que:

g x = s e n   x ,   0 ≤ x ≤ π 2 0 ,   x > π 2

(Sugestão: Resolva o problema nos dois intervalos e então encontre uma solução de tal forma que y e y ' sejam contínuas em x = π 2 .)

Passo 1

Nossa equação é essa aqui:

y ' ' + 4 y = g x

Para encontrarmos y c vamos fazer: y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ok? Logo:

m 2 + 4 = 0

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 0 + 2 i

m 2 = a - b i = 0 - 2 i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x

Top!

Passo 2

Para o primeiro intervalo, teremos:

g x = s e n   x

Uma possível solução particular é:

y p = A . cos ⁡ x + B . s e n   x

Encontrando as constantes:

y p ' = - A . s e n   x + B . cos ⁡ x

y p ' ' = - A . cos ⁡ x - B . s e n   x

Substituindo na nossa equação:

y ' ' + 4 y = s e n   x

- A . cos ⁡ x - B . s e n   x + 4 A . cos ⁡ x + B . s e n   x = s e n   x

Como isso é uma identidade então tiramos que:

A = 0 B = 1 3

Então y p será:

y p = 1 3 s e n   x

E a solução geral será:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 3 s e n   x

Ok, primeira parte feita!

Passo 3

Para o segundo intervalo, teremos:

g x = 0

Sendo assim, podemos admitir que não há solução particular neste caso! Ou seja, a solução geral para esse intervalo será a própria solução complementar, que é:

y = c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n   2 x

Agora que encontramos as duas soluções vamos sintetiza-las aqui:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 3 s e n   x ,     0 ≤ x ≤ π 2 y = c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 s e n   2 x ,     x > π 2

Agora só falta encontrarmos os valores das constantes, certo? É por isso que o enunciado nos deu as condições iniciais, que são:

  y 0 = 1 ,   y ' 0 = 2

Então vamos aplicar essas condições para as duas soluções, beleza? Show!

Passo 4

Para a primeira solução, teremos:

y = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n   2 x + 1 3 s e n   x

Primeira condição:

1 = c 1

Segunda condição:

y ' = - 2 c 1 . s e n   2 x + 2 c 2 . cos ⁡ 2 x + 1 3 cos ⁡ x

2 = 2 c 2 + 1 3

c 2 = 5 6

Então para o primeiro intervalo a solução é:

y = cos ⁡ 2 x + 5 6 s e n   2 x + 1 3 s e n   x

Passo 5

Para a segunda solução, teremos:

cos ⁡ 2 . π 2 + 5 6 s e n   2 . π 2 + 1 3 s e n π 2 = c 3 cos ⁡ 2 . π 2 + c 4 s e n   2 . π 2

- 1 + 1 3 = - c 3

c 3 = 2 3

Agora a segunda condição:

- 2 c 1 . s e n   2 x + 2 c 2 . cos ⁡ 2 x + 1 3 cos ⁡ x = - 2 c 3 . s e n   2 x + 2 c 4 . cos ⁡ 2 x

- 2 c 1 . s e n   2 . π 2 + 2 c 2 . cos ⁡ 2 . π 2 + 1 3 cos ⁡ π 2 = - 2 c 3 . s e n   2 . π 2 + 2 c 4 . cos ⁡ 2 . π 2

- 5 3 = - 2 c 4

c 4 = 5 6

Então para o segundo intervalo a solução é:

y = 2 3 cos ⁡ 2 x + 5 6 s e n   2 x

Dessa forma, podemos concluir que nossa resposta final é:

y = cos ⁡ 2 x + 5 6 s e n   2 x + 1 3 s e n   x ,     0 ≤ x ≤ π 2 y = 2 3 cos ⁡ 2 x + 5 6 s e n   2 x ,     x > π 2

Resposta

y = cos ⁡ 2 x + 5 6 s e n   2 x + 1 3 s e n   x ,     0 ≤ x ≤ π 2 y = 2 3 cos ⁡ 2 x + 5 6 s e n   2 x ,     x > π 2

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