Enunciado

É preciso construir um cercado na forma de um triângulo retângulo isósceles com pernas de x pés de comprimento e hipotenusa de h pés de comprimento. Se o revestimento custa $5 pés para as penas e $10 pés para a hipotenusa, represente o custo total da manufatura em função de h .

Passo 1

A questão nos pede para determinar o custo de manufatura. Ele é obtido através do produto do comprimento de cercado pelo preço de cada material. Desta forma, temos:

C x , h = x ⋅ 5 + x ⋅ 5 + h ⋅ 10 = 10 x + 10 h

A função acima já descreve o custo do cercado. Entretanto, ela é uma função de duas variáveis: as pernas do cercado ( x ) e a hipotenusa ( h ) . Precisamos obter uma função de apenas 1 variável h . Desta forma, precisamos encontrar alguma forma de escrever x = f ( h ) .

Desta forma, vamos as contas.

Passo 2

O cercado possui uma forma de triângulo retângulo isósceles, como pode ser observado abaixo:

Os catetos são iguais pois é um triângulo isósceles. Como ele possui um ângulo reto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Assim temos:

x 2 + x 2 = h 2

x 2 = h 2 2

x = h 2 = h 2 2

Passo 3

Se substituirmos o x = h 2 / 2 na função C ( x , h ) escrita no Passo 1, temos:

C h = 5 h 2 + 10 h = 5 h 2 + 2

Logo, conseguimos escrever o custo de manufatura como função de h .

Resposta

C h = 5 h 2 + 10 h = 5 h 2 + 2

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