Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 0 ∞ k - 1 k 2 k x k

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 2 ( n + 1 ) x n + 1   n - 1 n 2 n x n =   l i m n → ∞   n x n + 1 n + 1 2 ( n + 1 ) ⋅ n 2 n n - 1 x n

=   l i m n → ∞   n n 2 n n - 1 n + 1 2 n + 2 | x |

=   l i m n → ∞ n n - 1 n + 1 2 ⋅ n n + 1 2 n | x |

=     l i m n → ∞ n n - 1 n + 1 2 ⋅ 1 n + 1 n n 2 | x |

= l i m n → ∞ n n - 1 n + 1 2 ⋅ 1 1 + 1 n n 2 | x |

= 0 ⋅ 1 e 2 x = 0

Como o limite deu zero, a série converge para qualquer valor em - ∞ ,   ∞ .

Resposta

- ∞ ,   ∞ .

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