Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ 5 k k ! x k

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ 5 n + 1 x n + 1 n + 1 !     5 n x n n ! =   l i m n → ∞   5 n + 1 x n + 1 n + 1 !   ⋅ n ! 5 n x n

=   l i m n → ∞   5 x n + 1 =   l i m n → ∞   1 n + 1   | 5 x |

= 0

Como o limite deu zero, temos que a série é absolutamente convergente para qualquer número, no intervalo - ∞ ,   ∞ .

Resposta

- ∞ ,   ∞

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