Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

2 x 2 y ' ' - x x - 1 y ' - y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

2 x 2 y ' ' - x x - 1 y ' - y = 2 r 2 - r - 1 c 0 x r + ∑ k = 1 ∞ 2 k + r - 1 k + r c k + k + r c k - c k + ( k + r - 1 ) c k - 1 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

2 r + 1 . ( r - 1 ) = 0

k + r 2 k + 2 r + 1 - 1 c k + ( k + r - 1 ) c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 1 e r = - 1 2

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 1 e r = - 1 2

Usando r = - 1 2 , temos

c k = c k - 1 2 k ,   k = 1 , 2,3 …

E então:

c 1 = 1 2 c 0

c 2 = 1 8 c 0

c 3 = 1 48 c 0

Enquanto para r = 1 temos:

c k = c k - 1 2 k + 3 ,   k = 1 , 2,3 …

Então:

c 1 = 1 5 c 0

c 2 = 1 35 c 0

c 3 = 1 31 5 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x - 1 2 1 + 1 2 x + 1 8 x 2 + 1 48 x ³ + … + C 2 . x 1 + 1 5 x + 1 35 x 2 + 1 315 x ³ + …

Resposta

y = C 1 . x - 1 2 1 + 1 2 x + 1 8 x 2 + 1 48 x ³ + … + C 2 . x 1 + 1 5 x + 1 35 x 2 + 1 315 x ³ + …

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