Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' - y ' + x ³ y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' - y ' + x 3 y = r 2 - 2 r c 0 x r - 1 + r 2 - 1 c 1 x r + r 2 + 2 r c 2 x r + 1 + r 2 + 4 r + 3 c 3 x r + 2 + ∑ k = 2 ∞ k + r - 1 k + r c k - k + r c k + c k - 4 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r r - 2 = 0

r 2 - 1 c 1 = 0

r r + 2 c 2 = 0

r 2 + 4 r + 3 c 3 = 0

k + r - 2 k + r c k + c k - 4 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0 e r = 2

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 2

Então:

c k = - c k - 4 k k - 2 ,   k = 4,5 , 6 …

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . 1 - 1 8 x 4 + 1 384 x 8 + …

Resposta

y = c 0 . 1 - 1 8 x 4 + 1 384 x 8 + …

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