Enunciado

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .

18. f t = t . s e n   t

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = t . s e n   t

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t t . s e n   t d t

L f t = ∫ 0 ∞ t . s e n   t e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ 0 ∞ t . s e n   t e - s t d t

= - t s 2 + 1 - 2 s s 2 + 1 2 cos ⁡ t e - s t - s t s 2 + 1 + s 2 - 1 s 2 + 1 2 s e n   t e - s t ∞ 0

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = 2 s s 2 + 1 2

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = 2 s s 2 + 1 2

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