Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' + 5 x y ' + 3 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + 5 x m x m - 1 + 3 x m = 0

m 2 x m - m x m + 5 m x m + 3 x m = 0

m 2 x m + 4 m x m + 3 x m = 0

x m m 2 + 4 m + 3 = 0

Daqui a gente tem que m 2 + 4 m + 3 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 + 4 m + 3 = 0

Δ = 16 - 12 = 4

m 1 = ( - 4 + 2 ) 2 =   - 1

m 2 = - 4 - 2 2 =   - 3

Temos duas raízes, então a solução é dessa forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2

Então a nossa solução é:

y = c 1 x - 1 + c 2 x - 3

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 x - 1 + c 2 x - 3

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