Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - 3 x y ' - 2 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' - 3 x y ' - 2 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' - 3 x y ' - 2 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - 3 x m x m - 1 - 2 x m = 0

m 2 x m - m x m - 3 m x m - 2 x m = 0

m 2 x m - 4 m x m - 2 x m = 0

x m m 2 - 4 m - 2 = 0

Daqui a gente tem que m 2 - 4 m - 2 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 4 m - 2 = 0

Δ = 16 + 8 = 24

m 1 = ( 4 + 24 ) 2 =   2 + 6

m 2 = 4 + 24 2 =   2 - 6

Temos duas raízes, então a solução é dessa forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2

Então a nossa solução é:

y = c 1 x 2 + 6 + c 2 x 2 - 6

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 x 2 + 6 + c 2 x 2 - 6

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