Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solução do problema de valor

inicial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4.

(a) Use o método de Euler com h = 0,05.

(b) Use o método de Euler com h = 0,025.

(c) Use o método de Euler inverso com h = 0,05.

(d) Use o método de Euler inverso com h = 0,025.

1) y ' = 3 + t - y ,         y 0 = 1

Passo 1

Temos que o método de Euler fica:

t n = t 0 + n h

y n + 1 = y n + h ∙ f t n , y n

Onde:

d y d t = f t , y

Ea condição inicial:

y t 0 = y 0

Demonstrando o primeiro passo, temos:

t 1 = t 0 + h = 0,05

y 1 = y 0 + 0,05 ∙ 3 + t 0 - y 0 = 1 + 0,05 ∙ 3 + 0 - 1 = 1,1

Repetindo os mesmo passos até chegar em y 0,4 , tendo a seguinte tabela:

Passo 2

b) Temos que o método de Euler fica:

t n = t 0 + n h

y n + 1 = y n + h ∙ f t n , y n

Onde:

d y d t = f t , y

Ea condição inicial:

y t 0 = y 0

Demonstrando o primeiro passo, temos:

t 1 = t 0 + h = 0,0 2 5

y 1 = y 0 + 0,0 2 5 ∙ 3 + t 0 - y 0 = 1 + 0,0 2 5 ∙ 3 + 0 - 1 = 1,05

Repetindo os mesmo passos até chegar em y 0,4 , tendo a seguinte tabela:

c)Método de e Euler inverso, temos:

t n = t 0 + n h

y n + 1 = y n + h ∙ f t n + 1 , y n + 1

Onde:

d y d t = f t , y

Ea condição inicial:

y t 0 = y 0

t 1 = t 0   + h = 0,05

Demonstrando o primeiro passo, temos:

y 1 = y 0 + 0,05 ∙ 3 + t 1 - y 1

y 1 = y 0 + 0,05 ∙ 3 + t 1 1,05

y 1 = 1,0976

Repetindo os mesmo passos até chegar em y 0,4 , tendo a seguinte tabela:

Passo 3

d)

Método de e Euler inverso, temos:

t n = t 0 + n h

y n + 1 = y n + h ∙ f t n + 1 , y n + 1

Onde:

d y d t = f t , y

Ea condição inicial:

y t 0 = y 0

Demonstrando o primeiro passo, temos:

t 1 = t 0   + h = 0,025

y 1 = y 0 + 0,0 2 5 ∙ 3 + t 1 - y 1

y 1 = y 0 + 0,05 ∙ 3 + t 1 1,0 2 5

y 1 = 1,0 4939

Repetindo os mesmo passos até chegar em y 0,4 , tendo a seguinte tabela:

Resposta

a)

b)

c)

d)

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