Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

2 x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

2 x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

2 x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

2 x 2 m m - 1 x m - 2 + x m x m - 1 + x m = 0

2 m 2 x m - 2 m x m + m x m + x m = 0

x m 2 m 2 - m + 1 = 0

Daqui a gente tem que     2 m 2 - m + 1 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

2 m 2 - m + 1 = 0

Δ = - 1 2 - 4 1 2 = - 7

m 1 = 1 + - 7 2 ⋅ 2 = 1 4 + 7 i 4

m 2 = 1 4 - 7 4 i

Temos duas raízes complexas, então a solução é dessa forma:

y = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β a parte imaginária...

Nossa solução então é:

y = x 1 4 c 1 cos ⁡ 7 4 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 7 4 ln ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = x 1 4 c 1 cos ⁡ 7 4 ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ 7 4 ln ⁡ x

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