Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - x m x m - 1 + 2 x m = 0

m 2 x m - m x m - m x m + 2 x m = 0

x m m 2 - 2 m + 2 = 0

Daqui a gente tem que m 2 - 2 m + 2 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 2 m + 2 = 0

Δ = 4 - 8 = - 4

m 1 = 2 + - 4 2 = 1 - i

m 2 = 1 + i

Temos duas raízes complexas, então a solução é dessa forma:

y = x α c 1 cos ⁡ β ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ β ln ⁡ x

Onde α é a parte real e β a parte imaginária...

Nossa solução então é:

y = x c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ ln ⁡ x

E prontinho! 😉

Resposta

y = x c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 sen ⁡ ln ⁡ x

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Em cada um dos problemas de23 a 26, use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3 e0,4 .
Em cada um dos problemas de23 a 26,use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 . C
Em cada um dos problemas de23 a 26,use a fórmula de Euler modificada do Problema 22 com h=0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t=0,1 ;0,2 ;0,3e0,4 . C
27. Mostre que a fórmula de Euler modificada do Problema 22 será idêntica à fórmula de Euler aprimorada da E q .( 5 ) para y ' =f ( t ,y ) se f for linear em ambos t e y .
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