Enunciado

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x y ' ' - y ' = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x y ' ' - y ' = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x y ' ' - y ' = 0

x m m - 1 x m - 2 - m x m - 1 = 0

m 2 x m - 1 - m x m - 1 - m x m - 1 = 0

x m - 1 ( m 2 - 2 m ) = 0

Daqui a gente tem que m 2 - 2 m = 0 , já que x m - 1 ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 2 m = 0

m m - 2 = 0

m = 0   e   m = 2

Temos duas raízes, então a solução é dessa forma:

y = c 1 x m + c 2 x m

Então a nossa solução é:

y = c 1 x 0 + c 2 x 2

y = c 1 + c 2 x 2

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 x ²  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 5 x y ' + 4 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 4 d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 4 x d y d x - 4 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x - 4 y = 0
Nos problemas 29-34, usando variação dos parâmetros. x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = x 4 e x