Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

14 y ' ' - 2 y ' + y = e x a r c tan ⁡ x .

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W 1 = 0 y 2 f x y 2 '

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W   e   u 2 ' = W 2 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

y ' ' - 2 y ' + y = e x a r c tan ⁡ x

Fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 2 - 2 m + 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = 1

Como as raízes são reais e idênticas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x

y c = c 1 e x + c 2 x e x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e x

y 2 = x e x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = e x a r c tan ⁡ x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e x x e x e x e x + x e x = e 2 x + x e 2 x - x e 2 x = e 2 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x e x e x a r c tan ⁡ x e x + x e x = - x e 2 x a r c tan ⁡ x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e x 0 e x e x a r c tan ⁡ x = e 2 x a r c tan ⁡ x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - x e 2 x a r c tan ⁡ x e 2 x = - x a r c tan ⁡ x

u 2 ' = W 2 W = e 2 x a r c tan ⁡ x e 2 x = a r c tan ⁡ x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - x a r c tan ⁡ x d x = 1 + x 2 2 a r c tan ⁡ x + x 2

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ a r c tan ⁡ x d x = x a r c tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = 1 + x 2 2 a r c tan ⁡ x + x 2 . e x + x a r c tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 . x e x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e x + c 2 x e x + 1 + x 2 2 a r c tan ⁡ x + x 2 . e x + x a r c tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 . x e x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e x + c 2 x e x + 1 + x 2 2 a r c tan ⁡ x + x 2 . e x + x a r c tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 . x e x

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