Enunciado

Um peso de 125 g é atado a uma mola de constante elástica igual a 2   N / m . O meio oferece uma resistência ao movimento do peso numericamente igual à velocidade instantânea. Se o peso parte de um ponto 1 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 8 m/s para baixo, determine o instante em que o peso passa pela posição de equilíbrio. Calcule o instante no qual o peso atinge seu deslocamento extremo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição do peso nesse instante?

Passo 1

Falaa meu jovem, vamos lá?

O primeiro passo nesse exercício é montarmos o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 125   g = 1 8 k g , k = 2   N / m , e como “O meio oferece uma resistência ao movimento do peso numericamente igual à velocidade instantânea”, temos β = 1 , então:

1 8 d 2 x d t 2 + d x d t + 2 x = 0

O enunciado também fala que “o peso parte de um ponto 1 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 8 m/s para baixo”

Então temos:

x 0 = - 1

x ' 0 = 8

Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?

Passo 2

Temos:

1 8 d 2 x d t 2 + d x d t + 2 x = 0

x 0 = - 1

x ' 0 = 8

Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:

x = c 1 . e - 4 t + c 2 . t . e - 4 t

Aplicando as condições iniciais, encontramos

c 1 = - 1

c 2 = 4

Então, nossa solução é

x = - e - 4 t + 4 . t . e - 4 t

Passo 3

Primeiro vamos encontrar o momento t em que o peso passa pela posição de equilíbrio, ou seja, em x = 0 :

x = - e - 4 t + 4 . t . e - 4 t

0 = - e - 4 t + 4 . t . e - 4 t

e - 4 t . - 1 + 4 t = 0

O termo e - 4 t nunca vai ser 0, então nos resta:

- 1 + 4 t = 0

t = 1 4 s

Então, o peso passa na posição de equilíbrio em 0,25   s beleza?

Passo 4

Agora vamos calcular o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo, bora:

Primeiro temos que achar a derivada de x :

x ' t = 8 e - 4 t - 16 . t . e - 4 t

Agora vamos encontrar o ponto extremo igualando isso a 0:

8 e - 4 t - 16 . t . e - 4 t = 0

e - 4 t . 8 - 16 t = 0

8 - 16 t = 0

16 t = 8

t = 1 2 s

Agora vamos substituir esse ponto de extremo na nossa função x ( t ) , que aí a gente vai ter a posição do peso nesse momento de extremo:

x 1 2 = - e - 4 2 + 4 . 1 2 . e - 4 2

x 1 2 = - e - 2 + 2 . e - 2

x 1 2 = e - 2

Ufa, acabamossss

Resposta

O peso atinge a posição de equilíbrio em t = 1 4 s

Passa pelo extremo em t = 1 4 s , sendo a posição nesse instante igual e - 2

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