Enunciado

Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.

y ' ' - 3 y ' + 2 y = 1 1 + e - x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Vamos determinar primeiro a solução da parte homogênea.

Passo 2

A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 - 3 k + 2 = 0

E solução vai ser dada pela fórmula de Bháskara:

k = - ( - 3 ) ± ( - 3 ) 2 - 4.1 . - 2 2.1 = 3 ± 1 2 ,   k 1 = 2 ,   k 2 = 1

Aqui a solução vai ser uma combinação de exponenciais:

y h = c 1 e 2 x + c 2 e x

Beleza! Agora vamos aplicar o método da variação de parâmetros para determinar a solução particular.

Passo 3

Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada y 1 e y 2 , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

No texto do livro é deduzido o sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, são as equações 7 e 9 e formam o seguinte sistema:

a u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = G u 1 ' y 1 + u 2 ' y 2 = 0

Onde a é o coeficiente de y ' ' e G é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para u 1 ' e u 2 ' :

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) ,     u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )  

E depois é só fazer a integração.

No nosso caso y 1 = e x e y 2 = e 2 x . E as derivadas são y 1 ' = e x e y 2 ' = 2 e 2 x . E G = 1 1 + e - x e também a = 1 .

Então podemos calcular o denominador:

y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' = 2 e 3 x - e 3 x = e 3 x

Assim u 1 ' fica:

u 1 ' = - G y 2 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = - e 2 x 1 + e - x   e 3 x = - e 2 x e 3 x ( 1 + e - x ) = - e - x 1 + e - x

E integrando em relação a x temos (por substituição com u = 1 + e - x ):

u 1 = ∫ - e - x 1 + e - x d x

A integral será resolvida por integração direta:

u 1 = l n ⁡ [ 1 + e - x ]

E já vou calcular aqui u 1 y 1 pois vai ser útil depois!

u 1 y 1 = e x l n ⁡ [ 1 + e - x ]

Passo 4

Pronto, agora vamos calcular u 2 e posteriormente u 2 y 2 .

Da fórmula para u 2 ' do passo anterior temos:

u 2 ' = - G y 1 a ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' ) = e x 1 + e - x   e 3 x = e x e 3 x + e 2 x

E integrando em relação a x temos:

u 2 = ∫ e x e 3 x + e 2 x d x = ln ⁡ e x + 1 e x - e - x = ln ⁡ 1 + e - x - e - x

E o valor de u 2 y 2 pois vai ser:

u 2 y 2 = e 2 x . ln ⁡ 1 + e - x - e - x

Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos 3 e 4 e determinar a solução particular.

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 = e x ln ⁡ 1 + e - x + e 2 x . ln ⁡ 1 + e - x - e - x

E a solução completa vai ser:

y = y h + y p = c 1 e 2 x + c 2 e x + e x ln ⁡ 1 + e - x + e 2 x . ln ⁡ 1 + e - x - e - x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y ( x ) = c 1 e 2 x + c 2 e x + e x ln ⁡ 1 + e - x + e 2 x . ln ⁡ 1 + e - x - e - x

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