Enunciado

Nos problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.

16. y ' ' - 2 y ' + 2 y = e x sec ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:

Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha c 1 é y 1 , a função que acompanha c 2 é y 2 e a função de x que fica na direita da nossa equação diferencial é f x . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W 1 = 0 y 2 f x y 2 '

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x

Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:

u 1 ' = W 1 W   e   u 2 ' = W 2 W

Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!

Passo 2

Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar y c , certo? Show! Nossa equação é:

y ' ' - 2 y ' + 2 y = e x sec ⁡ x

Fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , teremos:

m 2 - 2 m + 2 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1 + i

m 2 = 1 - i

Como as raízes são complexas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = c 1 e x s e n   x + c 2 e x cos ⁡ x

Que nos diz o seguinte:

y 1 = e x s e n   x

y 2 = e x cos ⁡ x

Topzeeera! Primeira etapa concluída!

Passo 3

Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:

f x = e x sec ⁡ x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e x s e n   x e x cos ⁡ x e x + e x cos ⁡ x e x - e x s e n   x = - e 2 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 e x cos ⁡ x e x sec ⁡ x e x - e x s e n   x = - e 2 x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = e x s e n   x 0 e x + e x cos ⁡ x e x sec ⁡ x = e 2 x tan ⁡ x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - e 2 x - e 2 x = 1

u 2 ' = W 2 W = e 2 x tan ⁡ x - e 2 x = - tan ⁡ x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ d x = x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ - tan ⁡ x d x = ln ⁡ cos ⁡ x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = x . e x s e n   x + ln ⁡ cos ⁡ x . e x cos ⁡ x

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 e x s e n   x + c 2 e x cos ⁡ x + x . e x s e n   x + ln ⁡ cos ⁡ x . e x cos ⁡ x

E é isso, gente!

Resposta

y = c 1 e x s e n   x + c 2 e x cos ⁡ x + x . e x s e n   x + ln ⁡ cos ⁡ x . e x cos ⁡ x

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Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.24- y ' ' + y = c o t gx ,0xπ / 2
Resolva a equação diferencial usando a ) coeficientes a serem determinados e b ) variação dos parâmetros.19- y ' ' + 4 y = x
Em cada um dos problemas de 29 a 32, use o método esquematizando no Problema 28 para resolver a equação diferencial dada. t 2 y ' ' - 2 t y ' + 2 y = 4 t 2 , t0 ; y 1 t = t