Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' + 2 y ' + y = 0 ;     y 1 = x e - x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ x e - x

Aí teremos:

y ' = u ' x e - x + 1 - x e - x u

y ' ' = x e - x u ' ' + 2 1 - x e - x u ' - 2 - x e - x u

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

x e - x u ' ' + 2 1 - x e - x u ' - 2 - x e - x u + 2 u ' x e - x + 1 - x e - x u + u x e - x = 0

e - x x u ' ' + 2 u ' = 0

Como e - x ≠ 0 para qualquer x , então temos que:

x u ' ' + 2 u ' = 0

u ' ' + 2 x u ' = 0

E vamos ter que fazer outra substituição nessa...

Passo 3

Vamos lá, fazendo:

w = u '

w ' = u ' '

Teremos:

w ' + 2 x w = 0

Resolvendo essa EDO linear:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

w = e - ∫ 2 x d x ∫ e ∫ 2 x   d x ⋅ 0 d x

w = e - 2 ln ⁡ x ∫ 0   d x

w = c x 2

Passo 4

Agora a gente vai voltar pra u :

w = u ' = c x 2

u = ∫ c x 2 d x

u = - c x + c 2

E como y = u x ⋅ x e - x   , temos:

y = - c x + c 2 x e - x

Fazendo c = - 1   e   c 2 = 0 , temos a solução:

y 2 = 1 x x e - x

y 2 = e - x

E terminamos😉

Resposta

y 2 = e - x

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