Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

x y ' ' - 2 + x y ' = 0 ;     y 1 = 1

Passo 1

Vamos lá pra mais um probleminha de segunda solução

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação x y ' ' - 2 + x y ' = 0 , sendo que a primeira solução é y 1 = 1

Nesse caso, a gente vai seguir a sugestão do enunciado e usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

x y ' ' - 2 + x y ' = 0

E a primeira solução é y 1 = 1

Primeiramente, vamos deixar nossa equação nesse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I )

Para isso, vamos dividir tudo por x : y ' ' - 2 + x x y ' = 0     ( I I I )

Belezinha, agora ela já ta com a carinha da equação ( I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = - 2 + x x

Q x = 0

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

Substituindo y 1 = 1 e P x = - 2 + x x , temos

y 2 x = 1 ∫ e - ∫ - 2 + x x d x 1 ²   d x     ( I V )

Pra começo de conversa, temos que resolver aquela integral ali no expoente do Euler:

∫ - 2 + x x d x

Podemos separar na soma de duas frações:

∫ - 2 x - x x d x

E então na soma de duas integrais:

∫ - 2 x d x + ∫ - 1   d x

Aí temos:

∫ - 2 + x x d x = - 2 ln ⁡ x - x     ( V )

Passo 4

Ta bom, agora vamos substituir ( V ) em ( I V ) :

y 2 x = ∫ e - - 2 ln ⁡ x - x     d x

y 2 x = ∫ e 2 ln ⁡ x + x     d x

Por propriedade de potência, temos que a b + c = a b . a c :

y 2 x = ∫ e 2 ln ⁡ x . e x   d x

Por propriedade de logaritmo, e ln ⁡ x = x

y 2 x = ∫ x 2 . e x   d x

Para resolver essa integral, vamos usar integral por partes

Passo 5

Temos a integral

y 2 x = ∫ x 2 . e x   d x

Vamos aplicar integral por partes

Chamando u = x ² e d v = e x , temos d u = 2 x e v = e x :

y 2 x = x 2 . e x - ∫ e x . 2 x   d x

y 2 x = x 2 . e x - 2 ∫ e x . x   d x

Ihh alá, vamos ter que aplicar integral por partes de novo hehe

Dessa vez vamos chamar u = x e d v = e x , aí temos d u = 1 e v = e x , agora vai!

y 2 x = x 2 . e x - 2 x . e x - ∫ e x . 1   d x

y 2 x = x 2 . e x - 2 x . e x - e x

y 2 x = x 2 . e x - 2 x . e x + 2 e x

Então, uma segunda solução é:

y 2 x = e x ( x 2 - 2 x + 2 )

Resposta

y 2 x = e x ( x 2 - 2 x + 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 20 y = 0 ;y 1 = x - 4
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 1 + 2 x y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' +x y ' + y = 0 ;y 1 = co
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 ;y 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 7 x y ' - 20 y = 0 ;y