Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

2 y ' ' - 3 y ' + 4 y = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 2 y ' ' - 3 y ' + 4 y = 0

Assim:

2 m 2 - 3 m + 4 = 0

Vamos resolver essa equação

Calculando o :

∆ = ( - 3 ) 2 - 4 . 2 . 4

∆ = 9 - 32 = - 23

Então:

m = - ( - 3 ) ± - 23 2 . 2

m = 3 ± - 23 4

Como temos uma raíz negativa, vamos usar os números complexos:

m = 3 ± 23 . ( - 1 ) 4

m = 3 ± 23 i 4

Então nossas soluções são

m 1 = 3 + 23 i 4                         m 2 = 3 - 23 i 4

Temos duas soluções complexas conjugadas, então aplicando o caso 3 lá do passo 1:

y = c 1 . e 3 + 23 i 4 x + c 2 . e 3 - 23 i 4 x

y = c 1 . e 3 x 4 . e 23 x 4 i + c 2 . e 3 x 4 . e - 23 x 4 i

E aí podemos usar a fórmula de Euler pra simplificar:

y = e 3 x 4 . c 1 . cos ⁡ 23 x 4 + i . s e n 23 x 4 + c 2 . cos ⁡ 23 x 4 - i . s e n 23 x 4

E é isso

Resposta

y = e 3 x 4 . c 1 . cos ⁡ 23 x 4 + i . s e n 23 x 4 + c 2 . cos ⁡ 23 x 4 - i . s e n 23 x 4

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