Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

4 y ' ' + y ' = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 4 y ' ' + y ' = 0

Assim:

4 m 2 + m = 0

Vamos resolver essa equação

Colocando o m em evidência:

m . 4 m + 1 = 0

Então, nossas soluções são:

m 1 = 0

4 m 2 + 1 = 0 → m 2 = - 1 4

Temos duas soluções reais e distintas, então usando o primeiro caso lá do passo 1, nossa solução geral é:

y = c 1 . e 0 . x + c 2 . e - 1 4 x

y = c 1 + c 2 . e - 1 4 x

E é isso

Resposta

y = c 1 + c 2 . e - 1 4 x

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