Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' - 3 t g x y ' = 0 ;     y 1 = 1

Passo 1

Vamos pra mais uma?

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação y ' ' - 3 t g x y ' = 0 , sendo que a primeira solução é y 1 = 1

Nesse caso, a gente vai seguir a sugestão do enunciado e usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

y ' ' - 3 t g x y ' = 0   ( I I )

E a primeira solução é y 1 = 1

Primeiramente, vamos comparar a nossa equação com eesse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = - 3 t g x

Q x = 0

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

Substituindo y 1 = 1 , P x = - 3 t g x e Q x = 0 , temos

y 2 x = 1 ∫ e - ∫ - 3 t g x d x 1 ¹   d x     ( I V )

Pra começo de conversa, temos que resolver aquela integral ali no expoente do Euler:

∫ - 3 t g x d x

Removendo a constante:

- 3 ∫ t g x d x

A integral da tangente a gente sabe né:

∫ - 3 t g x d x = - 3 . - ln ⁡ cos ⁡ x

∫ - 3 t g x d x = 3 . ln ⁡ cos ⁡ x   ( V )

Passo 4

Ta bom, agora vamos substituir ( V ) em ( I V ) :

y 2 x = ∫ e - 3 . ln ⁡ cos ⁡ x   d x

y 2 x = ∫ e - 3 . ln ⁡ cos ⁡ x   d x

y 2 x = ∫ e ln ⁡ cos ⁡ x - 3   d x

Por propriedade de logaritmo, e ln ⁡ x = x

y 2 x = ∫ cos ⁡ x - 3   d x

y 2 x = ∫ s e c ³ ( x )   d x

y 2 x = ∫ s e c 2 x . s e c ⁡ ( x )   d x

Agora é só resolver essa integral

E vamos de integral por partes

Passo 5

Ó, a gente tem essa integral

∫ s e c 2 x . s e c ⁡ ( x )   d x

Chamando u = s e c ⁡ ( x ) e d v = s e c ² ( x ) , temos d u = sec ⁡ x . t a n ⁡ ( x ) e v = t a n ⁡ ( x ) :

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x . sec ⁡ x . tan ⁡ x d x

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ tan 2 ⁡ x . sec ⁡ x d x

Masss, t a n 2 x = s e c 2 x - 1 :

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ s e c 2 x - 1 . sec ⁡ x d x

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ s e c 3 x - s e c ⁡ ( x ) d x

Vamos separar a integral da subtração na subtração das integrais:

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ s e c 3 x d x - ∫ s e c ⁡ ( x )   d x

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ s e c 3 x d x + ∫ s e c ⁡ ( x )   d x

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x - ∫ s e c 3 x d x + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Mandando o ∫ s e c 3 x d x pro outro lado:

2 ∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

E aí encontramos o resultado da integral:

∫ s e c ³ ( x )   d x = sec ⁡ x . tan ⁡ x + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 2

Como temos y 2 x = ∫ s e c ³ ( x )   d x , uma segunda solução é

y 2 x = sec ⁡ x . tan ⁡ x + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 2

Resposta

y 2 x = sec ⁡ x . tan ⁡ x + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 2

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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 3 x + 1 y ' ' - 9 x + 6 y ' + 9 y
Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1 ( x ) é uma solução para a equação homogênea associada. Determ
Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1 ( x ) é uma solução para a equação homogênea associada. Determ
Verifique por substituição direta que a fórmula (4) satisfaz a equação (2)
Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1 ( x ) é uma solução para a equação homogênea associada. Determ