Enunciado

Nos problemas 31-34, use o método de redução de ordem para encontrar uma solução para a equação não-homogênea dada. A função indicada y 1 ( x ) é uma solução para a equação homogênea associada. Determine uma segunda solução para a equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.

y ' ' - 4 y = 2 ;         y 1 = e - 2 x

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos matar esse probleminha?

Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação y ' ' - 4 y = 2 , sendo que a primeira solução é y 1 = e - 2 x

Nesse caso, a gente vai usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:

Dada a equação y ' ' + P x y ' + Q x y = 0 e uma primeira solução y 1 ( x ) , uma segunda solução vai ser dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x     ( I )

Então vamos lá??

Passo 2

Só pra relembrar, temos a equação

y ' ' - 4 y = 2

E a primeira solução é y 1 = e - 2 x

Primeiramente, vamos comparar a nossa equação com esse modelo:

y ' ' + P x y ' + Q x y = 0     ( I I I )

Comparando a nossa equação ( I I I ) com a ( I I ) , a gente tem

P x = 0

Então agora é só jogar lá na fórmula ( I ) do passo 1??

Isso mesmooo, vamos lá!

Passo 3

Vimos que a segunda solução é dada por

y 2 x = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2 x   d x

y 2 x = e - 2 x ∫ e - ∫ 0 d x e - 4 x   d x

y 2 x = e - 2 x ∫ e 4 x   d x

Vamos fazer uma substituição simples: u = 4 x , e aí temos d u = 4   d x

y 2 x = e - 2 x 4 ∫ e u   d u

y 2 x = e - 2 x 4 e u

Voltando para variável x :

y 2 x = e - 2 x 4 e 4 x

Então, uma segunda solução é

y 2 x = e 2 x 4

Como a nossa equação não homogênea está igualada a 2 , sabemos que uma solução particular é y p = - 1 2

E fechamosss

Resposta

y 2 x = e 2 x 4

y p = - 1 2

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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' - y = 0 ;y 1 = cosh ⁡ x