Enunciado

Nos problemas 13-16, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências em torno do ponto ordinário x=0.

15. (x-1)y’’+3y = 0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n . Substituindo na equação diferencial, teremos:

x - 1 y ' ' + 3 y = - 2 c 2 + 3 c 0 + ∑ k = 2 ∞ k - 1 k - 2 c k - 1 - k k - 1 c k + 3 c k - 2 x k - 2 = 0

Com a implicação de que c 2 = 3 c 0 2 e c k = k - 1 k - 2 c k - 1 + 3 c k - 2 k ( k - 1 ) ,   c o m   k = 3,4 , 5 , … .

Escolhendo c0=1 e c1=1, obtemos c2=0, c3=1/2, c4=1/4, e assim continua. Logo, encontramos as duas soluções:

y 1 = c 1 1 + 3 2 x 2 + 1 2 x 3 + 5 8 x 4 + …

E

y 2 = c 1 x + 1 2 x 3 + 1 5 x 4 + … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = c 1 1 + 3 2 x 2 + 1 2 x 3 + 5 8 x 4 + … e y 2 = c 1 x + 1 2 x 3 + 1 5 x 4 + … .

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