Enunciado

Nos problemas 13-16, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências em torno do ponto ordinário x=0.

14. y’’-4y=0

Passo 1

Como sabemos, podemos realizar a substituição com y = ∑ n = 0 ∞ c n x n . Substituindo na equação diferencial, teremos:

y ' ' - 4 y = ∑ k = 2 ∞ k k - 1 c k - 4 c k - 2 x k - 2 = 0

Como c2=0 e temos que c k = 4 c k - 2 k k - 1 ,   k = 2 , 3,4 , … Além disso, podemos admitir que c0=1 e c1=0.

Passo 2

Utilizando isso as admissões anteriores, temos c2=2, c3=c5=c7=...=0, c4=2/3, c6=4/45, e assim continua. Já se considerarmos c0=0 e c1=1, temos c2=c4=c6=...=0, c3=2/3, c5=2/15, c7=4/315. A partir disso, podemos encontrar suas soluções y1 e y2.

y 1 = c 0 1 + 2 x 2 + 2 3 x 4 + 4 45 x 6 + …

E

y 2 = c 1 x + 2 3 x 3 + 2 15 x 5 + 4 315 x 7 + … .

Resposta

Assim, concluímos que y 1 = c 0 1 + 2 x 2 + 2 3 x 4 + 4 45 x 6 + … e y 2 = c 1 x + 2 3 x 3 + 2 15 x 5 + 4 315 x 7 + … .

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