Enunciado

Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.

16. 2 y ' ' ' + 9 y ' ' + 12 y ' + 5 y = 0

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos a solução das equações diferenciais dos problemas 13-18 é beeem tranquilo, pois todas as equações diferenciais são iguais a zero! Mas pera aí, o que isso significa? Isso significa que não precisamos calcular a solução particular do problema, que era JUSTAMENTE a parte mais complexa do trem!

Lembrem-se que a solução para esses problemas tem a seguinte cara:

y = y c + y p

Como não temos solução particular, então:

y = y c

E para calcularmos y c , que é a solução complementar do problema, é MUUITO tranquilo! Basta acharmos as raízes da equação característica fazendo as substituições: y = 1 ,   y ' = m ,   y ' ' = m 2 ,   y ' ' ' = m 3 ,   … e assim por diante!

Agora chega de papo, bora ver como que faz isso aí na prática!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

2 y ' ' ' + 9 y ' ' + 12 y ' + 5 y = 0

Fazendo as substituições:

2 m 3 + 9 m 2 + 12 m + 5 = 0

Das equações de Girard tiramos que:

m 1 + m 2 + m 3 = - b a = - 9 2

m 1 . m 2 + m 1 . m 3 + m 2 . m 3 = c a = 12 2 = 6

m 1 . m 2 . m 3 = - d a = - 5 2

Se pensarmos em três raízes que satisfazem essas três equações AO MESMO TEMPO, teremos:

m 1 = m 2 = - 1

m 3 = - 5 2

Showww!

Passo 3

Como temos três raízes no qual duas são idênticas e uma é distinta, isso significa que nossa solução complementar terá o seguinte formato:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x + c 3 e m 3 x

Logo:

y = c 1 e - x + c 2 x e - x + c 3 e - 5 2 x  

E está aí nossa solução, galera! 😊

Resposta

y = c 1 e - x + c 2 x e - x + c 3 e - 5 2 x

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