1.

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

Todas as soluções da equação diferencial

t 2 y ' ' - 2 y = 0 ,   t > 0

São dadas pela fórmula y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1 , onde C 1 e C 2 são constantes.

Resolução
2.

Verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 ,     ( - ∞ , ∞ )

Resolução
3.

Considere a equação diferencial

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0

  1. Enuncie o teorema de Wronskiano de soluções para equações lineares de ordem 2
  2. Mostre que y 1 x = x e y 2 x = x e x formam um conjunto fundamental de soluções em 0 , ∞
  3. Porque o Wronskiano ser igual a zero em x = 0 não contradiz esse teorema?
Resolução
4.

Considere a equação diferencial

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0

  1. Enuncie o teorema de Wronskiano de soluções para equações lineares de ordem 2
  2. Mostre que y 1 x = x e y 2 x = x e x formam um conjunto fundamental de soluções em 0 , ∞
  3. Porque o Wronskiano ser igual a zero em x = 0 não contradiz esse teorema?
Resolução
7.

Suponha que p t e que q t são contínuas e que y 1 e y 2 são soluções de

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

em um intervalo aberto I . Prove que se y 1 e y 2 se anulam em um mesmo ponto em I então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Resolução
8.

Considere a equação diferencial:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 4 ,           x > 0

( a ) Mostre que y 1 = x ² e y 2 = x 2 l n x são soluções linearmente independentes calculando o Wronskiano.

b Dado que y 1 e y 2 de ( a ) são soluções da equação homogênea associada, utilize o método da variação de parâmetros para calcular uma solução particular da equação diferencial.

Resolução
9.

Considere a equação diferencial ordinária:

y ' ' + p y ' + q y = 0

Onde y = y ( t ) e p ,   q são constantes e p 2 - 4 q < 0 .

Suponha que as soluções da EDO são do tipo y t = e r t , e obtenha um conjunto fundamental de soluções reais.

Resolução

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