Enunciado

Nos problemas 19-22, resolva cada equação diferencial pelo método dos coeficientes indeterminados.

19. y ' ' - 3 y ' + 5 y = 4 x 3 - 2 x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 3 y ' + 5 y = 4 x 3 - 2 x

m 2 - 3 m + 5 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = 3 ± 9 - 4 . 1.5 2 . 1 = 3 ± - 11 2

Então encontramos que:

m 1 = a + b i = 3 2 + 11 2 i

m 2 = a - b i = 3 2 - 11 2 i

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

y c = e a x . c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

y c = e 3 2 x c 1 cos ⁡ 11 2 x + c 2 s e n   11 2 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 4 x 3 - 2 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato a x 3 + b x 2 + c x + d , o seguinte operador anula nossa função:

D 4

Onde D é definido como D y = d y d x . Aplicando o operador, teremos:

y ' ' - 3 y ' + 5 y = 4 x 3 - 2 x

D 2 y - 3 D y + 5 y = 4 x 3 - 2 x

D 2 - 3 D + 5 y = 4 x 3 - 2 x

D 4 D 2 - 3 D + 5 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 4 m 2 - 3 m + 5 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = a + b i = 3 2 + 11 2 i

m 2 = a - b i = 3 2 - 11 2 i

m 3 = m 4 = m 5 = m 6 = 0

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = e 3 2 x c 1 cos ⁡ 11 2 x + c 2 s e n   11 2 x + c 3 + c 4 x + c 5 x 2 + c 6 x 3

Observe que o termo e 3 2 x c 1 cos ⁡ 11 2 x + c 2 s e n   11 2 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x + C x 2 + D x 3

Aqui vale ressaltar que A = c 3 ,   B = c 4 ,   C = c 5   e   D = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B + 2 C x + 3 D x 2

y p ' ' = 2 C + 6 D x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' - 3 y ' + 5 y = 4 x 3 - 2 x

2 C + 6 D x - 3 B + 2 C x + 3 D x 2 + 5 A + B x + C x 2 + D x 3 = 4 x 3 - 2 x

2 C + 6 D x - 3 B - 6 C x - 9 D x 2 + 5 A + 5 B x + 5 C x 2 + 5 D x 3 = 4 x 3 - 2 x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = - 222 625 B = 46 125 C = 36 25 D = 4 5

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = e 3 2 x c 1 cos ⁡ 11 2 x + c 2 s e n   11 2 x - 222 625 + 46 125 x + 36 25 x 2 + 4 5 x 3

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = e 3 2 x c 1 cos ⁡ 11 2 x + c 2 s e n   11 2 x - 222 625 + 46 125 x + 36 25 x 2 + 4 5 x 3

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Na prática, a função aplicada g x é frequentemente descontínua. Resolva o problema de valor inicial: y ' ' + 4 y = g x ,y 0 = 1 ,y ' 0 = 2 Em que: g x = s e nx ,0 ≤ x ≤ π 2 0 ,xπ 2 (Sugestão: Resolva
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Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.40. y ' ' ' + 8 y = 2 x - 5 + 8 e - 2 x ,y 0 = - 5 ,y ' 0 = 3 ,y ' ' 0 = - 4
Nos problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.36. d 2 x d t 2 + ω 2 x = F 0 cos ⁡ γ t ,x 0 = 0 ,x ' 0 = 0
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