Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

12. y ' ' + 6 y ' + 8 y = 3 e - 2 x + 2 x

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 6 y ' + 8 y = 3 e - 2 x + 2 x

m 2 + 6 m + 8 = 0

Aplicando Bháskara:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 6 ± 36 - 4 . 1.8 2 . 1 = - 6 ± 2 2

Então encontramos que:

m 1 = - 6 + 2 2 = - 2

m 2 = - 6 - 2 2 = - 4

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 e - 2 x + c 2 e - 4 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 3 e - 2 x + 2 x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x e D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = - 2 e n = 1 , logo um dos nossos operadores será:

D + 2

E quando temos uma função no formato x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2

Então nosso operador será D 2 D + 2 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + 6 y ' + 8 y = 3 e - 2 x + 2 x

D 2 y + 6 D y + 8 y = 3 e - 2 x + 2 x

D 2 + 6 D + 8 y = 3 e - 2 x + 2 x

D 2 D + 2 D 2 + 6 D + 8 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 2 m + 2 m 2 + 6 m + 8 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = 0

m 3 = - 2

m 4 = - 2

m 5 = - 4

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 x + c 3 e - 2 x + c 4 x e - 2 x + c 5 e - 4 x

Observe que o termo c 3 e - 2 x + c 5 e - 4 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x + C x e - 2 x

Aqui vale ressaltar que A = c 1 , B = c 2 e C = c 4 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B + C 1 . e - 2 x - 2 x e - 2 x

y p ' ' = - 2 C e - 2 x - 2 C 1 . e - 2 x - 2 x e - 2 x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' + 6 y ' + 8 y = 3 e - 2 x + 2 x

- 2 C e - 2 x - 2 C 1 . e - 2 x - 2 x e - 2 x + 6 B + C 1 . e - 2 x - 2 x e - 2 x + 8 A + B x + C x e - 2 x

= 3 e - 2 x + 2 x

- 2 C e - 2 x - 2 C e - 2 x + 4 C x e - 2 x + 6 B + 6 C e - 2 x - 12 C x e - 2 x + 8 A + 8 B x + 8 C x e - 2 x

= 3 e - 2 x + 2 x

Como temos uma identidade isso nos dá que:

8 A + 6 B = 0 8 B = 2 2 C = 3

E encontramos que:

C = 3 2

B = 1 4

Substituindo na primeira equação:

8 A + 6 . 1 4 = 0

A = - 3 16

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = - 3 16 + 1 4 x + c 3 e - 2 x + 3 2 x e - 2 x + c 5 e - 4 x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = - 3 16 + 1 4 x + c 3 e - 2 x + 3 2 x e - 2 x + c 5 e - 4 x

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