Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

26. y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = x e x - e - x + 7

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = x e x - e - x + 7

m 3 - m 2 + m - 1 = 0

Fatorando isso aí, ou seja, reescrevendo nossa expressão de outra forma, teremos:

x - 1 x 2 + 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = a + b i = 0 + i

m 3 = a - b i = 0 - i

Como as raízes são distintas e complexas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + e a x c 2 cos ⁡ b x + c 3 s e n   b x

y c = c 1 e x + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x e x - e - x + 7

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x n - 1 e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade, D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos n = 2 e a = 1 , logo nosso primeiro operador será:

D - 1 2

Quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a n

No nosso caso temos n = 1 e a = - 1 , logo nosso segundo operador será:

D + 1

E, por fim, quando temos uma função no formato k o seguinte operador anula nossa função:

D

Dessa forma nosso operador completo será D D - 1 2 D + 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = x e x - e - x + 7

D 3 y - D 2 y + D y - y = x e x - e - x + 7

D 3 - D 2 + D - 1 y = x e x - e - x + 7

D D - 1 2 D + 1 D 3 - D 2 + D - 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m - 1 2 m + 1 m 3 - m 2 + m - 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = m 3 = 1

m 4 = - 1

m 5 = 1

m 6 = a + b i = 0 + i

m 7 = a - b i = 0 - i

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 e x + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x + c 4 + c 5 e - x + c 6 x e x + c 7 x 2 e x

Observe que o termo c 1 e x + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B e - x + C x e x + D x 2 e x

Aqui vale ressaltar que A = c 4 ,   B = c 5 ,   C = c 6   e   D = c 7 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' '   e   y p ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = C e x x + e x + D e x x 2 + 2 e x x - B e - x

y p ' ' = C e x x + 2 e x + D e x x 2 + 4 e x x + 2 e x + B e - x

y p ' ' ' = C e x x + 3 e x + D e x x 2 + 6 e x x + 6 e x - B e - x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = x e x - e - x + 7

C e x x + 3 e x + D e x x 2 + 6 e x x + 6 e x - B e - x

- C e x x + 2 e x + D e x x 2 + 4 e x x + 2 e x + B e - x + C e x x + e x

+ D e x x 2 + 2 e x x - B e - x - A + B e - x + C x e x + D x 2 e x = x e x - e - x + 7

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = - 7 B = 1 4 C = - 1 2 D = 1 4

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e x + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x - 7 + 1 4 e - x - 1 2 x e x + 1 4 x 2 e x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e x + c 2 cos ⁡ x + c 3 s e n   x - 7 + 1 4 e - x - 1 2 x e x + 1 4 x 2 e x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.31. 16 y 4 - y = e x 2
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.32. y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 2 cosh ⁡ x - 6
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.30. y 4 - 4 y ' ' ' = 5 x 2 - e 2 x
Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.42. y ' ' + y ' = 9 - e - x + x 2 s e nx
Prove que a equação diferencial: a n y n + a n - 1 y n - 1 + … + a 1 y ' + a 0 y = k No qual k é uma constante, a 0 ≠ 0 tem como solução particular a função y p = k a 0 .