Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

32. y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 2 cosh ⁡ x - 6

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' ' = m 4 ,   y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 2 cosh ⁡ x - 6

m 4 - 5 m 2 + 4 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = - 1

m 3 = 2

m 4 = - 2

Como as raízes são todas distintas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x + c 3 e m 3 x + c 4 e m 4 x

y c = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 2 cosh ⁡ x - 6

g x = e x + e - x - 6

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos a = 1 , logo nosso primeiro operador será:

D - 1

A segunda função que temos possui o MESMO formato da primeira, apenas alterando o sinal da constante. Dessa forma, nosso segundo operador será:

D + 1

E, por fim, quando temos uma função no formato k o seguinte operador anula nossa função:

D

Dessa forma nosso operador completo será D D - 1 D + 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 2 cosh ⁡ x - 6

D 4 y - 5 D 2 y + 4 y = e x + e - x - 6

D 4 - 5 D 2 + 4 y = e x + e - x - 6

D D - 1 D + 1 D 4 - 5 D 2 + 4 y = e x + e - x - 6

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 4 = m 4 ,   D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m - 1 m + 1 m 4 - 5 m 2 + 4 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = 0

m 2 = m 3 = 1

m 4 = m 5 = - 1

m 6 = 2

m 7 = - 2

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x + c 5 + c 6 x e x + c 7 x e - x

Observe que o termo c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x e x + C x e - x

Aqui vale ressaltar que A = c 5 ,   B = c 6   e   C = c 7 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' ' ,   y p ' ' '   e   y ' ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B 1 . e x + x e x + C 1 . e - x - x e - x

y p ' ' = B e x + B 1 . e x + x e x - C e - x - C 1 . e - x - x e - x

y p ' ' ' = B e x + B e x + B 1 . e x + x e x + C e - x + C e - x + C 1 . e - x - x e - x

y p ' ' ' ' = 3 B e x + B x e x - 3 C e - x - C 1 . e - x - x e - x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y 4 - 5 y ' ' + 4 y = 2 cosh ⁡ x - 6

3 B e x + B x e x - 3 C e - x - C 1 . e - x - x e - x

- 5 B e x + B 1 . e x + x e x - C e - x - C 1 . e - x - x e - x + 4 A + B x e x + C x e - x

= e x + e - x - 6

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = - 3 2 B = - 1 6 C = 1 6

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho grande.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x - 3 2 - 1 6 x e x + 1 6 x e - x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x - 3 2 - 1 6 x e x + 1 6 x e - x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 28:Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados. Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução partic
Em cada um dos problemas de 21 a 28:Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados. Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução partic
Em cada um dos problemas de 21 a 28:Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados. Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução partic
Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.40. y 4 - y ' ' ' = x + e x ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 ,y ' ' 0 = 0 ,y ' ' ' 0 = 0
Um operador diferencial que anula e 2 x x + s e nx é __________.