Enunciado

Nos problemas 41 e 42, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial dada.

42. y ' ' + y ' = 9 - e - x + x 2 s e n   x

Passo 1

Então galera, assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + y ' = 9 - e - x + x 2 s e n   x

m 2 + m = 0

E então encontramos que:

m 1 = 0

m 2 = - 1

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 + c 2 e - x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 9 - e - x + x 2 s e n   x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x , o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x . No nosso caso temos a = - 1 , então nosso primeiro operador será:

D + 1

Quando temos uma função no formato x n - 1 sen ⁡ β x , o seguinte operador anula nossa função:

D 2 + β 2 n

No nosso caso temos β = 1 e n = 3 , então nosso segundo operador será:

D 2 + 1 3

E, por fim, quando temos uma função no formato k , o seguinte operador anula nossa função:

D

Sendo assim, nosso operador total será D D + 1 D 2 + 1 3 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' + y ' = 9 - e - x + x 2 s e n   x

D D + 1 D 2 + 1 3 D 2 + D y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola!

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m m + 1 m 2 + 1 3 m 2 + m = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = 0

m 3 = m 4 = - 1

m 5 = m 6 = m 7 = i

m 8 = m 9 = m 10 = - i

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 e - x + c 3 x + c 4 x e - x + c 5 cos ⁡ x + c 6 s e n   x + c 7 x . cos ⁡ x + c 8 x . s e n   x + c 9 x 2 . cos ⁡ x

+ c 10 x 2 . s e n   x

Observe que o termo c 1 + c 2 e - x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = c 3 x + c 4 x e - x + c 5 cos ⁡ x + c 6 s e n   x + c 7 x . cos ⁡ x + c 8 x . s e n   x + c 9 x 2 . cos ⁡ x + c 10 x 2 . s e n   x

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

y p = c 3 x + c 4 x e - x + c 5 cos ⁡ x + c 6 s e n   x + c 7 x . cos ⁡ x + c 8 x . s e n   x + c 9 x 2 . cos ⁡ x + c 10 x 2 . s e n   x

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