Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

27. y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = e x - x + 16

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = e x - x + 16

m 3 - 3 m 2 + 3 m - 1 = 0

Fatorando isso aí, ou seja, reescrevendo nossa expressão de outra forma, teremos:

x - 1 3 = 0

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = m 3 = 1

Como as raízes são idênticas então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x + c 3 x 2 e m 3 x

y c = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = e x - x + 16

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos que a = 1 , logo nosso primeiro operador será:

D - 1

Quando temos uma função no formato x n - 1 + k o seguinte operador anula nossa função:

D n

No nosso caso temos n = 2 , logo nosso segundo operador será:

D 2

Dessa forma nosso operador completo será D 2 D - 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = e x - x + 16

D 3 y - 3 D 2 y + 3 D y - y = e x - x + 16

D 3 - 3 D 2 + 3 D - 1 y = e x - x + 16

D 2 D - 1 D 3 - 3 D 2 + 3 D - 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 2 m - 1 m 3 - 3 m 2 + 3 m - 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = 0

m 3 = m 4 = m 5 = m 6 = 1

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x + c 4 + c 5 x + c 6 x 3 e x

Observe que o termo c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x + C x 3 e x

Aqui vale ressaltar que A = c 4 ,   B = c 5   e   C = c 6 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' '   e   y p ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = B + C 3 x 2 e x + x 3 e x

y p ' ' = 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

y p ' ' ' = 6 C 1 . e x + x e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = e x - x + 16

6 C 1 . e x + x e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x

- 3 3 C 2 x e x + x 2 e x + C 3 x 2 e x + x 3 e x + 3 B + C 3 x 2 e x + x 3 e x - A + B x + C x 3 e x = e x - x + 16

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = - 13 B = 1 C = 1 6

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x - 13 + x + 1 6 x 3 e x

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x - 13 + x + 1 6 x 3 e x

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