Enunciado

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

35. y ' ' - 5 y ' = x - 2 ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 2

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 5 y ' = x - 2

m 2 - 5 m = 0

Isolando m encontramos que:

m m - 5 = 0

m 1 = 0

m 2 = 5

Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x

y c = c 1 + c 2 e 5 x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = x - 2

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x n - 1 + k , o seguinte operador anula nossa função:

D n

No qual D y é definido como d y d x . Como temos n = 2 , então nosso operador será:

D 2

Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - 5 y ' = x - 2

D 2 y - 5 D y = x - 2

D 2 - 5 D y = x - 2

D 2 D 2 - 5 D y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m 2 m 2 - 5 m = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = 0

m 4 = 5

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

y = c 1 + c 2 e 5 x + c 3 x + c 4 x 2

Observe que o termo c 1 + c 2 e 5 x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x + B x 2

Aqui vale ressaltar que A = c 3   e   B = c 4 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' e y p ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A + 2 B x

y p ' ' = 2 B

Substituindo na nossa equação original, teremos:

y ' ' - 5 y ' = x - 2

2 B - 5 A + 2 B x = x - 2

2 B - 5 A - 10 B x = x - 2

Como temos uma identidade, então encontramos que:

2 B - 5 A = - 2 - 10 B = 1

Logo:

A = 9 25

B = - 1 10

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 + c 2 e 5 x + 9 25 x - 1 10 x 2

Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos c 1 e c 2 . As condições são:

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 2

Aplicando a primeira condição, teremos:

0 = c 1 + c 2

c 1 = - c 2

Aplicando a segunda condição, teremos:

y ' = 5 c 2 e 5 x + 9 25 - 1 5 x

2 = 5 c 2 + 9 25

c 2 = 41 125

Substituindo na primeira equação encontramos o seguinte:

c 1 = - 41 125

Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:

y = - 41 125 + 41 125 e 5 x + 9 25 x - 1 10 x 2

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = - 41 125 + 41 125 e 5 x + 9 25 x - 1 10 x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.34. y ' ' + y ' = x ,y 0 = 1 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.28. 2 y ' ' ' - 3 y ' ' - 3 y ' + 2 y = e x + e - x 2
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.29. y 4 - 2 y ' ' ' + y ' ' = e x + 1
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.26. y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = x e x - e - x + 7