Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

16 d 4 y d x 4 + 24 d 2 y d x 2 + 9 y = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 16 d 4 y d x 4 + 24 d 2 y d x 2 + 9 y = 0

16 y ' ' ' ' + 24 y ' ' + 9 y = 0

Assim:

16 m 4 + 24 m 2 + 9 = 0

Temos uma equação biquadrada

Para resolver essa equação, vamos chamar u = m ² , então temos u 2 = m 4 :

16 u 2 + 24 u + 9 = 0

Agora vamos resolver essa equação na variável u

Temos

∆ = 24 2 - 4.1 6 . 9 = 0

Como o nosso delta deu 0, vamos ter duas raízes iguais valendo:

u 1 = - 24 32 = - 3 4

Agora precisamos voltar para a variável m

Passo 3

Quando resolvemos 16 u 2 + 24 u + 9 = 0

Encontramos duas raízes reais iguais: u = - 3 4

Mas sabemos que u = m ² , então:

m 2 = - 3 4

m = ± - 3 4

m = ± 3 2 i

Então na nossa equação auxiliar temos duas raízes valendo m = 3 2 i e duas raízes valendo m = - 3 2 i

Aí a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 3 2 i x + c 2 . x . e 3 2 i x + c 3 . e -   3 2 i x + c 4 . x . e -   3 2 i x

Reescrevendo usando a fórmula de Euler:

y = c 1 . cos ⁡ 3 2 x + i . s e n 3 2 x + c 2 . x . cos ⁡ 3 2 x + i . s e n 3 2 x + c 3 . cos ⁡ 3 2 x - i . s e n 3 2 x + c 4 . x . cos ⁡ 3 2 x - i . s e n 3 2 x

Resposta

y = c 1 . cos ⁡ 3 2 x + i . s e n 3 2 x + c 2 . x . cos ⁡ 3 2 x + i . s e n 3 2 x + c 3 . cos ⁡ 3 2 x - i . s e n 3 2 x + c 4 . x . cos ⁡ 3 2 x - i . s e n 3 2 x

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