Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

2 d 5 y d x 5 - 7 d 4 y d x 4 + 1 2 d 3 x d x 3 + 8 d 2 y d x 2 = 0

Passo 1

Oiii, vamos matar esse exercício?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 2 d 5 y d x 5 - 7 d 4 y d x 4 + 12 d 3 x d x 3 + 8 d 2 y d x 2 = 0

2 y ' ' ' ' ' - 7 y ' ' ' ' + 12 y ' ' ' + 8 y ' ' = 0

Assim:

2 m 5 - 7 m 4 + 12 m 3 + 8 m 2 = 0

De onde encontramos duas raízes em m = 0 , uma raíz em m = - 1 2 , uma raíz em m = 2 + 2 i e uma raíz em m = 2 - 2 i . Então nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . x . e 0 x + c 3 . e - 1 2 x + c 4 . e ( 2 + 2 i ) x + c 5 . e ( 2 - 2 i ) x

y = c 1 + c 2 . x + c 3 . e - 1 2 x + c 4 . e ( 2 + 2 i ) x + c 5 . e ( 2 - 2 i ) x

Resposta

= c 1 + c 2 . x + c 3 . e - 1 2 x + c 4 . e ( 2 + 2 i ) x + c 5 . e ( 2 - 2 i ) x

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