Enunciado

Um circuito em série L - R possui um indutor variável com a indutância definida por:

L = 1 - t 10 ,     0 ≤ t < 10 0 ,     t ≥ 10

Encontre a corrente i t se a resistência é de 0,2 ohm, a voltagem é E t = 4 e i 0 = 0 . Esboce o gráfico de i t .

Passo 1

Então galera, para encontrarmos uma expressão de i t temos que montar uma equação diferencial antes de tudo, certo? De acordo com as informações dadas pelo enunciado, temos o seguinte:

1 - t 10 . d i d t + 0,2 i = 4

Separando as variáveis, teremos:

d i 40 - 2 i = d t 10 - t

Então agora temos que integrar e resolver!

Passo 2

Integrando, teremos:

∫ d i 40 - 2 i = ∫ d t 10 - t

O que nos dá como resultado:

- 1 2 ln ⁡ 40 - 2 i = - ln ⁡ 10 - t + c

Simplificando, teremos:

ln ⁡ 40 - 2 i = ln ⁡ 10 - t + c

40 - 2 i = c 10 - t

Para i 0 = 0 , teremos:

40 = c 10

c = 40 10

Substituindo na nossa solução:

40 - 2 i = 40 10 10 - t

Passo 3

Agora que encontramos uma solução vamos simplificar para tentar isolar i , saca só:

40 - 2 i = 40 100 10 - t 2

- 2 i = 40 100 10 - t 2 - 40

- 2 i = 40 100 10 2 - 20 t + t 2 - 40

- 2 i = 40 - 8 t + 40 100 t 2 - 40

- 2 i = 40 100 t 2 - 8 t

i = - 20 100 t 2 + 4 t

∴ i t = 4 t - 1 5 t 2

Ufa! Conseguimos isolar i t como queríamos.

Passo 4

Agora temos que analisar i t para dois casos: para t < 10 e para t = 10 . Para t = 10 teremos:

i = 40 - 20 = 20

Para t < 10 temos a expressão que encontramos! Sendo assim, nosso resultado será:

i t = 4 t - 1 5 t 2 ,     0 ≤ t < 10 20 ,     t ≥ 10

O gráfico disso é:

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

i t = 4 t - 1 5 t 2 ,     0 ≤ t < 10 20 ,     t ≥ 10

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