Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 4.3 - Ex. 6

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

3 y ' ' + y = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 3 y ' ' + y = 0

Assim:

3 m 2 + 1 = 0

Vamos resolver essa equação

Isolando o m ² :

m 2 = - 1 3

m = ± - 1 3

Opa opa opa, caímos na raíz quadrada de um número negativo!!

Como arrumamos isso???

Issooo, usando números complexos!! Temos que - 1 3 = 1 3 . ( - 1 ) :

m = ± 1 3 . ( - 1 )

m = ± 1 3 - 1

Como - 1 = i :

m = ± 1 3 i

m 1 = i 3               m 2 = - i 3

Temos duas soluções complexas conjugadas. Usando o caso 3 lá do passo 1, nossa solução geral é

y = C 1 . e i 3 x + C 2 . e - i 3 x

Simplificando pela fórmula de Euler:

y = C 1 . cos ⁡ x 3 + i . s e n x 3 + C 2 . cos ⁡ x 3 - i . s e n x 3

E é isso

Resposta

y = C 1 . cos ⁡ x 3 + i . s e n x 3 + C 2 . cos ⁡ x 3 - i . s e n x 3

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