Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

6 y ' ' + y ' - y = 0 ;       y 1 = e x 3

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

6 y ' ' + y ' - y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ e x 3

Aí teremos:

y ' = u ' e x 3 + 1 3 u e x 3

y ' ' = u ' ' e x 3 + 1 3 u ' e x 3 + 1 3 u ' e x 3 + 1 9 u e 1 x 3

y ' ' = u ' ' e x 3 + 2 3 u ' e x 3 + 1 9 u e x 3

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

6 y ' ' + y ' - y = 0

6 u ' ' e x 3 + 2 3 u ' e x 3 + 1 9 u e x 3 + u ' e x 3 + 1 3 u e x 3 - u e x 3 = 0

e x 3 6 u ' ' + 5 u ' = 0

u ' ' + 5 6 u ' = 0

Aí aqui a gente ainda vai fazer uma outra substituição...

Passo 3

Vamos fazer w = u ' , aí temos:

w ' = u ' '

Aí vamos ter:

w ' + 5 6 w = 0

Agora resolvendo essa EDO linear, encontramos:

w = c e - 5 x 6

E como w = u ' , temos:

u = ∫ c e - 5 x 6   d x

Passo 4

Resolvendo a integral:

u =   - 6 5 c 1 e - 5 6 x + c 2

E como y = u x ⋅ e x 3 , temos:

y = - 6 5 c 1 e - 5 6 x + c 2 e x 3

Fazendo c 1 = - 5 6   e   c 2 = 0 :

y 2 = e - 5 6 x e x 3

y 2 = e - x 2

E prontinho!

Resposta

y 2 = e - x 2

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