Enunciado

Nos problemas 23-26, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

x 2 y ' ' + 3 x y ' = 0 ;     y 1 = 0 ,     y ' 1 = 4

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + 3 x y ' = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' + 3 x y ' = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + 3 x m x m - 1 = 0

m 2 x m - m x m + 3 m x m = 0

x m m 2 + 2 m = 0

Daqui a gente tem que m 3 + 2 m = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 + 2 m = 0

m m + 2 = 0

m = 0 ;     m = - 2

Temos duas raízes diferentes, então a solução é da forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2

Então a nossa solução é:

y = c 1 x 0 + c 2 x - 2

y = c 1 + c 2 x - 2

E encontramos a solução geral!

Passo 4

Agora vamos usar nossas condições iniciais pra descobrir c 1   e   c 2 :

y 1 = 0 ,     y ' 1 = 4

Usando a primeira:

y = c 1 + c 2 x - 2

y 1 = c 1 + c 2 1 - 2 = 0 → c 1 + c 2 = 0

E derivando y , temos:

y ' =   - 2 c 2 x - 3

Substituindo a segunda condição:

y ' ( 1 ) = - 2 c 2 1 - 3 = 4 → c 2 = - 2

E aí como achamos que c 1 + c 2 = 0 , temos:

c 1 = 2

A solução do PVI então é:

y = 2 - 2 x - 2

Resposta

y = 2 - 2 x - 2

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