Enunciado

Nos problemas 43-45, resolva a equação diferencial dada.

3 x + 4 2 y ' ' + 10 3 x + 4 y ' + 9 y = 0

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

3 x + 4 2 y ' ' + 10 3 x + 4 y ' + 9 y = 0

Fazendo a substituição t = 3 x + 4 :

t 2 y ' ' + 10 t y ' + 9 y = 0

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = d y d t 3

E daí teremos:

d 2 y d x 2 = 9 d 2 y d t 2

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

9 t 2 y ' ' + 30 t y ' + 9 y = 0

Fazendo y = t m , temos:

y ' = m t m - 1

y ' ' = m m - 1 t m - 2

Substituindo na EDO:

9 t 2 m m - 1 t m - 2 + 30 t m t m - 1 + 9 t m = 0

9 m 2 t m - 9 m t m + 30 m t m + 9 t m = 0

t m 9 m 2 + 21 m + 9 = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

9 m 2 + m + 9 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = - 7 + 13 6     e     m 2 = - 7 - 13 6

A solução geral então é:

y = c 1 t - 7 + 13 6 + c 2 t - 7 - 13 6

Como t = 3 x + 4 ...

y = c 1 3 x + 4 - 7 + 13 6 + c 2 3 x + 4 - 7 - 13 6

E essa é a solução!

Resposta

y = c 1 3 x + 4 - 7 + 13 6 + c 2 3 x + 4 - 7 - 13 6

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