Enunciado

Nos problemas 23-26, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0 ;     y 1 = 5 ,     y ' 1 = 3

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 - 3 x m x m - 1 + 4 x m = 0

m 2 x m - m x m - 3 m x m + 4 x m = 0

x m m 2 - 4 m + 4 = 0

Daqui a gente tem que m 2 - 4 m + 4 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 - 4 m + 4 = 0

m - 2 2 = 0

m 1 = m 2 = 2

Temos duas raízes iguais, então a solução geral é:

y = c 1 x 2 + c 2 x 2 ln ⁡ x

Passo 4

Agora vamos usar nossas condições iniciais pra descobrir c 1   e   c 2 :

  y 1 = 5 ,     y ' 1 = 3

Usando a primeira:

y = c 1 1 2 + c 2 1 2 ln ⁡ 1 = 5

c 1 = 5

E derivando y , temos:

y ' =   2 c 1 x + c 2 ( x + 2 x l n   x )

Substituindo a segunda condição:

y ' ( 1 ) =   2 c 1 ⋅ 1 + c 2 ( 1 + 2 ⋅ 1 ln ⁡ 1 ) = 3

2 c 1 + c 2 = 3

10 + c 2 = 3 → c 2 = - 7

A solução do nosso PVI então é:

y = 5 x 2 - 7 x 2 ln ⁡ x

Resposta

y = 5 x 2 - 7 x 2 ln ⁡ x

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