Enunciado

Nos problemas 27-28, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

(Sugestão: faça t = - x )

4 x 2 y ' ' + y = 0 ,     y - 1 = 2 ;     y ' 1 = 4

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

4 x 2 y ' ' + y = 0

Vamos usar a sugestão da questão, que é fazer t = - x .

4 t 2 y ' ' + y = 0

Fazendo y = - t m temos:

y ' = - m t m - 1

y ' ' = - m m - 1 t m - 2

Vamos substituir isso tudo na EDO então!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

4 t 2 - m m - 1 t m - 2 - t m = 0

- m 2 4 t m + 4 m t m - t m = 0

- t m 4 m 2 - 4 m + 1 = 0

Daqui a gente tem que 4 m 2 - 4 m + 1 = 0 , já que t m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

4 m 2 - 4 m + 1 = 0

2 m - 1 2 = 0

m 1 = m 2 = 1 2

Temos duas raízes iguais, então a solução geral é:

y = c 1 t 1 2 + c 2 t 1 2 ln ⁡ t

Voltando para x :

y = c 1 - x 1 2 + c 2 - x 1 2 ln ⁡ ( - x ) ,     x < 0

Passo 4

Agora vamos usar nossas condições iniciais pra descobrir c 1   e   c 2 :

  y - 1 = 2 ,     y ' - 1 = 4

Usando a primeira condição:

y - 1 = c 1 1 1 2 + c 2 1 1 2 ln ⁡ 1 = 2

c 1 = 2

E derivando y , temos:

y ' = 1 2 c 1 - x - 1 2 + c 2 ( - x - 1 2 + 1 2 - x - 1 2 ln ⁡ ( - x )

Substituindo a segunda condição:

y - 1 = 1 2 c 1 + c 2 = 4

c 2 = 3

A solução do nosso PVI então é:

y = 2 - x 1 2 + 3 - x 1 2 ln ⁡ ( - x ) ,     x < 0

Resposta

y = 2 - x 1 2 + 3 - x 1 2 ln ⁡ ( - x ) ,     x < 0

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