Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' - x y ' + y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' - x y ' + y = r 2 - r c 0 x r - 1 + ∑ k = 0 ∞ k + r + 1 k + r c k + 1 - k + r c k + c k x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r ( r - 1 ) = 0

k + r + 1 k + r c k + 1 - k + r - 1 c k = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0 e r = 1

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 1

Se r = 0 , temos:

c k + 1 = k . c k k + 2 ( k + 1 ) ,   k = 0 , 1,2 , 3,4 …

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . x

Resposta

y = c 0 . x

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